Question

图中1/(1-x)^2怎么展开为幂级数的？

Answer 1

f(x)=x/(1+^2) f(x)/x=1/(1+x^2)

同取积分： 

∫(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt =arctanx =∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)

然后，同对x求导

f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n) 

因此， f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1) 

x/(1+x^2)=x/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-0)/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-(-x^2)^n)/(1-(-x^2)) 

这正是首项为x，公比为-x^2的等比级数的收敛函。

因此，直接可推：f(x)=x-x^3+x^5-……=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1) 

扩展资料：

设  是定义在某区间I上的函数列，则表达式 (1)称为定义在区间I上函数项级数。

如果式（1）上的各项  都是定义在区间上的幂函数，函数项级数  (2)称作幂级数，其中

 为常数，  称为幂级数的系数。

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

参考资料：百度百科——幂级数

Answer 2

1/(1-x)²=【1/（1-x）】’

=（∞∑n²·xⁿ）'

=∞∑n1·nx^n-1

其他类似题型参考

1、求x/(1-x^2)展开为x的幂级数

f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x) - 1/(1+x)]

因为1/(1-x)=∑(n=0,∞) x^n，x∈(-1,1)

1/(1+x)=∑(n=0,∞) (-x)^n，x∈(-1,1)
所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞) [1-(-1)^n] x^n，x∈(-1,1)
写得再清楚一点，就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)

其实，如果细心一点观察，就可以发现：
x/(1-x^2)=lim(n→∞) x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞) x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
这正是首项为x，公比为x^2的等比级数的收敛函数~~~
因此，直接可推：f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)

2、求x/(1+x^2)展开为x的幂级数

f(x)=x/(1+^2)
f(x)/x=1/(1+x^2)
同取积分：
∫(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt
=arctanx
=∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)
然后，同对x求导
f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n)
因此，
f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)

Answer 3

Answer 4

利用1/1-x的幂级数

详情如图所示

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