Question

一道数学证明题

|f(x)-f(y)|<=|x-y| 且f(0)=f(1) 求证|f(x)-f(y)|<=1/2.(x,y属于[0,1].)

Answer 1

因为f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1) 则根据罗尔定理，存在a∈(0,1)，使得f'(a)=0 令g(x)=f'(x)*(x-1)^2，则g(x)在[0,1]上可导因为g(a)=g(1)=0，则根据罗尔定理，存在ξ∈(a,1)?(0,1)，使得g'(ξ)=0 f''(ξ)*(ξ-1)^2+f'(ξ)*2(ξ-1)=0 f''(ξ)=2f'(ξ)/(1-ξ) 证毕

追问

只是证明|f(x)-f(y)|<=1/2诶。。。而且不能使用导数知识。