如何判断一个矩阵是否可对角化？
将矩阵A的特征多项式完全分解，求出A的特征值及其重数，若k重特征值都有k个线性无关的特征向量，则A可对角化；否则不能角化。
对角化的前提是A存在n个线性无关的特征向量，n阶单位矩阵的所有特征值都是1，但是它仍然有n个线性无关的特征向量，因此单位矩阵可以对角化。
实对称矩阵总可对角化，且可正交对角化。
对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。
扩展资料：
对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理： 它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。
对角矩阵运算规律：
1、和差运算：同阶对角阵的和、差仍是对角阵。
2、数乘运算：数与对角阵的乘积仍为对角阵。
3、乘积运算：同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵，且它们的乘积是可交换的。
参考资料来源：百度百科-对角化
图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。
设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。
扩展资料：
相关性质：
1、数量矩阵必能相似对角化
2、数量矩阵有且只有一个n重特征值。
3、在相似变换下矩阵的特征值保持不变，相似矩阵在矩阵对角化及简化矩阵计算方面有广泛的应用。
4、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
将矩阵A的特征多项式完全分解， 求出A的特征值及其重数，若k重特征值都有k个线性无关的特征向量，则A可对角化。否则不能对角化。
举例说明：
看这个矩阵是否能对角化，暂且把这个定义成A矩阵。
需要用到一个公式，如下图所示，我们这一步就是直接按照公式套入就可以了。
把上一步得到的结果进行整理，结果是一个行列式。然后按照展开法则进行展开。
得出这个算式的指，也就是这个行列式的特征根。
对这两个根进行讨论，然后求出来基础解系，然后我们根据基础解系来判断是否能够进行对角化。
如果所有特征根都不相等，绝对可以对角化，有等根，只需要等根（也就是重特征值）对应的那几个特征向量是线性无关的，那么也可以对角化，如果不是,那么就不能了。
矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。
扩展资料：
矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示。
用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式）。
这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加 。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解 。
参考资料来源：百度百科-矩阵
