Question

泰勒公式有什么用

Answer 1

Taylor展开的意义在于它告诉我们对于一类函数（解析函数），我们可以用一个函数的高阶导数在x的取值来在x的一个邻域内逼近这个函数本身。更漂亮的是，这个逼近的速度是可以描述的（泰勒公式），而且这个误差本身就是比较紧的，因此在我们对精度的要求并不太高的时候甚至可以截断，只取前面有限项，而结果并不会差出太多（这对一般的级数并不成立，比如调和级数）。
拿上面各位提到的sin(x)来举例。sin(0) = 0这十分好求，但sin(0.01)呢？这个时候最方便的方法就是用Taylor展开，因为它告诉我们这个值实际上只依赖于sin'(0), sin''(0), sin'''(0)...而这一系列数的每一项都很好求。通过带入Taylor级数我们可以看到sin(0.01) = 0.01 - 0.01^3/3! + 0.01^5 / 5! ... 这样我们就把sin的求值转化成线性求值了，好算多了不是吗？

Answer 2

泰勒公式是一个用函数在某点信息描述其附近取值的公式，如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数，构建一个多项式来近似表达这个函数。

Answer 3