Question

高等数学幂级数求收敛半径

高等数学幂级数求收敛半径谢谢

Answer 1

两种解法,自己去做
第一种,提一个1/x出来,并作换元t=x²,则原级数变成1/x*∑n/[2^n+(-3)^n]*t^n,这个幂级数的收敛半径会求吧?我假设求出来收敛半径是R,即当|t|<R时这个级数收敛.而t=x²,也就是x²<R,即|x|<√R时级数收敛,所以收敛半径是√R
第二种,幂级数的收敛域我假设是(-R,R),那麼对这个区间内任意一点x0,幂级数不就转化成了一般的无穷级数了么?所以我们要找最大的这个R是多少.那麼对於一般的无穷级数,我们有达朗贝尔判别法,∑un是否收敛,就看lim(n→∞)|un+1/un|=ρ与1的大小关系,当ρ<1时收敛,ρ>1时发散.
根据这个思路,取收敛域中任意一点x0,有un+1=(n+1)/[2^(n+1)+(-3)^(n+1)]*x0^(2n+1),这就是un+1.而un=n/[2^n+(-3)^n]*x0^(2n-1),比一比,取极限,得到的ρ是一个含有|x0|的式子,不妨设成f(|x0|).根据达朗贝尔判别法,当f(|x0|)<1时收敛,解得|x0|<R就是收敛半径

追问

你好，如果提一个1/x出来的话，对这个收敛半径是没有影响的吗？