Question

请问这道题该怎么做呢？你的回答对我有很多帮助，希望详解。

Answer 1

当x∈(0，+∞)时，不等式∣x²+(2/x)+b∣≧∣x²+(2/x)-4∣恒成立，求b的取值范围。
解：∵x∈(0，+∞)，∴x²+(2/x)=x²+(1/x)+(1/x)≧3，当x²=1/x，即x³=1，x=1时等号成立。
∴要使命题成立，必须：∣3+b∣≧∣x²+(2/x)-4∣≧∣3-4∣=1；
∴3+b≧1，即b≧-2或3+b≦-1，即b≦-4；
∴b∈[-2，+∞)或b∈(-∞，-4]；

追问

答案是

追答

4∈[-2，+∞)，即x∈[-2，+∞)时已包括了4，没必要再单独来个∪{4};
这么写显然是不合理的。再说，比如取b=-5，∣3-5∣=2>1; 故b∈(-∞，-4)是满足要求的。

追问

∪{-4}

追答

应该是b∈[-2，+∞)∪{-4};

∵x²+(2/x)的最小值是3；∴ ∣3+b∣≧∣3-4∣=1，因此由3+b≧1得b≧-2；

或3+b=-1，b=-4；

如果取b=-5，则当x=1时，左边=∣1+2-5∣=2；右边=∣1+2-4∣=1；

左边>右边；

当x=2时,左边=∣4+1-5∣=0,  右边=∣4+1-4∣=1;  左边<右边

即当b<-4时原不等式不能恒成立。