泰勒展开的公式及定义

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睿智小宁
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2018-11-08 · 醉心答题,欢迎关注
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泰勒公式:

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n

定义:

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知函数

在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数

在这一点的邻域中的值。

扩展资料

泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为

一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和。

公式:f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn 

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项。

注:f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘。


意莺当月1P
2020-11-18 · TA获得超过17万个赞
知道大有可为答主
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泰勒公式是一个用函数在某点信息描述其附近取值的公式,如果函数满足一定的条件,泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数,构建一个多项式来近似表达这个函数。

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神里流霜灭
2018-05-09 · 游戏领域创作者
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神里流霜灭
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泰勒公式(Taylor's formula)
形式1:带Peano余项的Taylor公式:
若f(x)在x0处有n阶导数,则存在x0的一个邻域(x0-δ,x0+δ)内任意一点x(δ>0),成立下式:
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
f(n)(x)表示f(x)的n阶导数,f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值
(可以反复使用L'Hospital法则来推导)

形式2::带Lagrange余项的Taylor公式:
若 函数f(x)在闭区间[a,b]上有n阶连续 导数,在(a,b)上有n+1阶导数。任取x0∈[a,b]是一定点,则对任意x∈[a,b]成立下式:
f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x),
Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。)^(n+1), ξ在x。和x之间,是依赖于x的量。
(注:f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数,不是f(n)与x。的相乘。)
正在加载泰勒公式

函数的
Maclaurin
展开指上面Taylor公式中x0取0的情况,即是Taylor公式的特殊形式,反过来通过平移和换元,
Maclaurin
展开式和上面的展开式是等价的。
Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小,证明不等式,求极限等。
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