Question

已知齐次方程组的几个解，如何求它的基础解?为什么书上都让它们相减?原理是什么呢？

Answer 1

你是说指在几个解中寻出基础解系么，首先解空间的维数是n-r，只要在这几个解中寻出一组极大线性无关组即可，不过其中的包含的向量必须是n-r个，要不然做不成n-r维空间的一组基。
用尝试法进行寻找极大线性无关组。
如果该向量组内有非零向量，只需要依次尝试，单独的一个非零向量肯定线性无关，在逐次放入其它非零向量，每放一次都要进行检验，而检验一组向量组是否线性无关相当于求解齐次线性方程组，当系数矩阵的秩和变量数一样时，该齐次线性方程组仅有零解，此时就是线性无关，否则就线性相关，而线性相关的时候，刚放入的那个非零向量就可以由一组线性无关的向量组线性表示，直到最后每个非零向量都尝试后得到的就是它的极大线性无关组，这个向量组线性无关，且其他向量都可以由这组向量组线性表示。
至于你说书上都让它们相减?我想应该是让基础解系的形式简单化，只要证明两个极大线性无关组等价即可，具体进一步分析请上传图片。