Question

如图所示，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G

（1）猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；（2）∠DOB与∠GOC相等吗？为什么？

Answer 1

郭敦顒回答：
（1）∠BOC=180°－（∠B+∠C）/2，
∠BAC=180°－（∠B+∠C），
∠BOC－∠BAC=（∠B+∠C）/2，
∠BOC－∠BAC+∠A/2=（∠B+∠C+∠A）/2=90°，
∠BOC－（1/2）∠BAC=90°。
（2）∠DOB=∠GOC
证明：
∠GOC=（∠A+∠B）/2（三角形的任一外角等于不相邻两内角和）；
∠GOC=90°－∠C/2，
因，（∠B+∠C+∠A）/2=90°，
所以，90°－∠C/2=（∠B+∠A）/2，
∠GOC=（∠A+∠B）/2，
所以，∠DOB=∠GOC。
证毕。

Answer 2

（1）∠BOC=90°+1/2∠BAC
理由：∵△ABC中，三条角平分线AD、BE、CF相交于点O，
∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）
=180°-1/2（180°-∠BAC）
=90°+1/2∠BAC；
（2）∠DOB与∠GOC．
理由：由（1）知∠AOB=90°+1/2∠ACB，
∴∠DOB=180°-∠AOB=180°-（90°+1/2∠ACB）=90°-1/2∠ACB
又∵OC平分∠ACB，OG⊥BC，
∴∠GOC=90°-1/2∠ACB，
∴∠DOB=∠GOC．即∠DOB与∠GOC相等．

Answer 3

(1)∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(1/2)(∠ABC+∠ACB)
=180°-(1/2)(180°-∠BAC)=90°+(1/2)∠BAC.
(2)∠DOB=∠ABO+∠BAO=(1/2)(∠ABC+∠BAC)
=(1/2)(180°-∠ACB)=90°-∠OCB=∠GOC.

Answer 4

∠BOC=π-∠OBC-∠OCB=π-(∠ABC+∠ACB)/2=π-(π-∠BAC)/2=(π+∠BAC)/2
相等。∠BOD=∠ABO+∠BAO=(π-∠ACB)/2=π/2-∠ACB/2=π/2-∠BCO=∠GOC