求数学期望
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解：①先求出X、Y的边缘密度分布函数。按照定义和题设条件，fX(x)=∫(0,x)f(x,y)dy=4x³，x∈(0,1)、fX(x)=0，x∉(0,1)。fY(y)=∫(y,1)f(x,y)dy=4y(1-y²)，y∈(0,1)、fY(y)=0，y∉(0,1)。
②求期望值。E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=4∫(0,1)x^4=4/5。
E(Y)=∫(0,1)yfY(y)dy=4∫(0,1)y²(1-y²)=8/15。
E(XY)=∫(0,1)dx∫(0,x)xyf(x,y)dy=8∫(0,1)x²dx∫(0,x)y²dy=(8/3)∫(0,1)x^5dx=4/9。
供参考。
②求期望值。E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=4∫(0,1)x^4=4/5。
E(Y)=∫(0,1)yfY(y)dy=4∫(0,1)y²(1-y²)=8/15。
E(XY)=∫(0,1)dx∫(0,x)xyf(x,y)dy=8∫(0,1)x²dx∫(0,x)y²dy=(8/3)∫(0,1)x^5dx=4/9。
供参考。
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