Question

高数极限题目，求详细解答过程，谢谢。

设函数f(x)在[1,-1]上有定义，f'(0）存在，求：

lim(n→∞) [f(1/n^2)+f(2/n^2)+...+f(n/n^2)-n·f(0)]

Answer 1

解答：
1、是奇函数，则f（x）=-f（-x）
f（-x）=[-2^(-x)+a]/[2^(-x+1)+b〕
则 [-2^(-x)+a]/[2^(-x+1)+b〕=-(-2^x+a)/[2^(x+1)+b]，
化简，得b-2a=0，ab-2=0，得a=1，b=2或a=-1，b=-2

2、
1）、当a=1，b=2时，f（x）=（-2^x+1)/[2^(x+1)+2]
可令m=2^x,则f（m）=（1-m）/〔2（1+m）〕，m∈（0，+∞）
f（m）的值域为（-1/2，1/2）
而f（c）=c^2-3c+3=(c-3/2)^2+3/4
f(c)min=3/4>f(m)max
所以D∈R，时f(x)<c^2-3c+3恒成立

2）、当a=-1，b=-2时，f（x）=（-2^x-1)/[2^(x+1)-2]
可令m=2^x,则f（m）=（1+m）/〔2（1-m）〕，m∈（0，1）U（1，+∞）
m∈（0，1），f（m）的值域为（0，+∞），且为单调增函数
m∈（1，+∞），f（m）的值域为（-∞，0），也是单调增函数
要满足f(x)<c^2-3c+3成立，
x∈(0,+∞)恒成立的
所以这样的D是存在的。