Question

证明“四点共面”的方法有哪些？

Answer 1

你的几何知识学的不好吗？我是一名大学生，假期在家兼职家教，有一些自己的做题方法。在这里，可以用这么几个方法来做：

1.利用“四点构成的两直线平行”；

2.证明其中三点共线；

3.利用向量，证明四点构成的任意两个向量共线

设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)

使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面 （但PABC四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件）

证明：

1）唯一性：

设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC

则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC

∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0

∵OA、OB、OC不共面

∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'

故实数x,y,z是唯一的

2）若x+y+z=1 则PABC四点共面：

假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面

那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC

OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)

点P位于平面ABC内 与假设中的条件矛盾 故原命题成立