Question

怎么证明n开n次方的极限为1？

Answer 1

证明：设a=n^(1/n)。∴a=e^(lnn/n)。

∴lim(n→∞)a=e^[lim(n→∞)lnn/n]。

而，lim(n→∞)lnn/n属“∞/∞“型，用洛必达法则，∴lim(n→∞)lnn/n=lim(n→∞)1/n=0。

∴lim(n→∞)n^(1/n)=e^[lim(n→∞)lnn/n]=e^0=1。

Answer 2

n﹥1时，1/n>0，n∧（1/n）>1
令hn=n∧（1/n）-1，hn>0，n∧（1/n）=1+hn，两边同时n次方得:
n=(1+hn)∧n=1+nhn+(n(n-1)/2)hn∧2+……+hn∧n > (n(n-1)/2)hn∧2>O，则hn<√(2/(n-1))
所以0≤hn的极限≤√(2/(n-1))的极限=0，hn的极限=0，所以
n∧(1/n)的极限=1+hn的极限=1，原命题得证。