Question

高等数学三重积分问题

如图，这个例题没看懂给出的答案，可不可以详情解释一下，还有为何用三重积分，二重积分的几何意义不是计算体积吗？

Answer 1

二重积分是计算曲边多面体体积，当被积函数=1 时，在数值上等于积分区域面积。

同理，定积分计算曲边梯形面积，当被积函数=1 时，在数值上等于积分区间长度。

因此，当被积函数=1 时，三重积分在数值上等于积分区域的体积。

追问

想问下积分上下限是怎么确定的？

追答

当 z 确定后，Dz1 就是圆，用极坐标时，圆周一圈是 360 度，范围就是 0 到 2兀，
把方程化为 x^2+y^2 = 4az - z^2，右边就是半径的平方，范围就是 0 到 根号（4az-z^2）

追问

懂了谢谢

Answer 2

首先，计算系三重积分的方法一共有两种
先一后二法，也就是咱们说的投影法
或者是先二后一法这道题所用的叫做截面法
计算工具有三种，一个是普通直角坐标系，一个是柱坐标系，还有一个是极坐标系
在了解到这道题之后，你的问题是，为什么不用二重积分的几何意义算呢？二重积分的几何意义是以被积函数为曲顶，并且以备车区域为底的柱的体积，也从本质上来说，二重积分是表示曲顶柱体的体积，所以说，这道题他不是曲顶柱体，因此不能用二重积分的几何意义算
咱们知道，当被积函数是一的时候，二重积分就表示被积函数的面积
同理，在三重积分的条件下，被积函数是一，那她就表示被积区域的体积
所以说这道题咱们采用被积函数为一的三重积分来计算，道题的计算方法，用截面法先将z确定，然后把这当成一个定值计算，x和y的二重积分
满意我的回答，请采纳，不懂的话，继续追问，谢谢

追问

OK，题目理解了

还有一个不懂的地方就是，采用截面法截取的区域Dz1跟Dz2是怎么确定的

就是例题答案里V＝V1+V2后面的等式怎么算出来的还是有点不清楚

追答

把z当成已知就可以了

追问

好的，谢谢

Answer 3

二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即。

这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号。

同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。[1]

Answer 4

本例题都是用截面法求体积。
V1 是球体的一部分， x^2+y^2+z^2 = 4az, 化为柱坐标为 r^2 = 4az-z^2,
每个截面是圆，面积为 πr^2, 即 π(4az-z^2)；
V2 由旋转抛物面与平面围成的立体， x^2+y^2+az = 4a^4, 化为柱坐标为 r^2 = 4a^2-az,
每个截面是圆，面积为 πr^2, 即 π(4a^2-az).

固有如题的积分。
本题用二重积分也可以做，但用三重积分截面法简单，实质上就是一元定积分。

Answer 5

二重积分计算的是曲顶柱体或更特殊柱体的体积。当三重积分的被积函数是1时，积分的值表示积分域所围成的三维有界闭体的体积。本题考查的知识点是三重积分的性质和计算法。

追问

这题具体怎么做？请详细解答，谢谢