Question

高数线性代数方程根的个数问题

高数线性代数方程根的个数问题请问①处是怎么得出来的？？n-r(A)是基础解系中线性无关的向量的个数呀，大于等于2是怎么来的？？

Answer 1

按理说，从非齐次方程组的解里可以得到3个齐次方程组的解，α1-α2，α1-α3，α2-α3，这三个解向量的秩为2，所以齐次方程组至少有两个线性无关的解，所以n-r(A)至少是2，即n-r(A)>=2，而A是四阶矩阵，所以未知数个数n为4，所以4-r(A)>=2，r(A)<=2，那么就说明二阶子式有不为0，三阶子式全为0，A*又都是三阶子式构成的矩阵，则A*=0

追问

为什么α1-α2,α1-α3,α2-α3这三个解向量的秩是2呀？

追答

你把这三个向量拼起来，变成一个三阶矩阵，初等变换。

追问

谢谢

Answer 2

因为 a1-a2, a1-a3 线性无关，且都是齐次方程 Ax = 0 的解，
即 a1-a2, a1-a3 两个向量都是齐次方程 Ax = 0 的基础解系，故 n - r(A) 至少是 2.

追问

α2-α3也是和另外两个解线性无关的齐次方程的解，为什么不考虑？如果算上这个的话，n-r(A)就至少是3了，怎么解释呀？

追答

a1-a2, a1-a3，α2-α3 线性相关，不符合基础解系条件，
上 3 个之中两个线性无关， 是齐次方程 Ax = 0 的基础解系，故 n - r(A) 至少是 2.

追问

确实相关，我太想当然了

Answer 3

呐

追问

谢谢