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解：令x=tanz
原式=∫<0,π/4>[ln(1+tanz)/(1+tan²z)]*sec²zdz
=∫<0,π/4>ln(1+sinz/cosz)dz
=∫<0,π/4>ln(sinz+cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln(√2)dz+∫<0,π/4>ln[sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=(π/4)ln(√2)+∫<π/4,0>ln[sin(π/2-y)]d(-y)-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
对后一个积分，令z=π/4-y
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosy)dy-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
再对第一个积分，令z=y
=πln2/8
原式=∫<0,π/4>[ln(1+tanz)/(1+tan²z)]*sec²zdz
=∫<0,π/4>ln(1+sinz/cosz)dz
=∫<0,π/4>ln(sinz+cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln(√2)dz+∫<0,π/4>ln[sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=(π/4)ln(√2)+∫<π/4,0>ln[sin(π/2-y)]d(-y)-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
对后一个积分，令z=π/4-y
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosy)dy-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
再对第一个积分，令z=y
=πln2/8
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追问
大哥你解的很好，可是我不太明白为什么要设z＝π/4－y，有什么解题依据吗，是不是只要下积分为0就可以设z＝上积分－y啊，多谢指点！
追答
0-π/2的区间，sinx,cosx均存在时，通常会这么设！
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