Question

∫dx/x(x-1)^2怎么计算

图中（第二步）是老师上课讲的方法，很想知道原理。是不是拆分x-(x-1)，没太明白

Answer 1

设 x = sint, -PI/2 <= t <= PI/2. t = arcsinx

dx = costdt,

∫dx/[1+(1-x^2)^1/2]

= ∫costdt/[1+cost]

= ∫dt - ∫dt/[1+cost]

= t - ∫dt/{2[cos(t/2)]^2}

= t - ∫[sec(t/2)]^2dt/2

= t - tan(t/2) + C

= arcsinx - tan[(arcsinx)/2] + C

这样不就作完了吗？

一定要算tan[(arcsinx)/2]吗？

tan[(arcsinx)/2] = sin[(arcsinx)/2]/cos[(arcsinx)/2]

= 2{sin[(arcsinx)/2]}^2/{2cos[(arcsinx)/2]sin[(arcsinx)/2]}

= [1 - cos(arcsinx)]/sin(arcsinx)

= [1 - cos(arcsinx)]/x

-PI/2 <= arcsinx <= PI/2,

0 <= cos(arcsinx) = {1 - [sin(arcsinx)]^2}^(1/2)

= [1 - x^2]^(1/2)

所以，
tan[(arcsinx)/2] = [1 - cos(arcsinx)]/x

= [1 - (1 - x^2)^(1/2)]/x

你是不是还考虑了cos(arcsinx)为负的情况。。多虑了。
所以，在不定积分的变量代换时，最好限制一下代换变量的变化范围。

Answer 2

拆项是按照分母的因式来拆的，也就是说这个x（x-1）2的因式有3个，x，x-1，(x-1)2，所以拆成3项

Answer 3

这就是有理函数积分的拆分公式…

Answer 4

老师讲得具有技巧性

看不出来也没关系

可以用普通方法来求

详情如图所示，

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 5

疾病传给对方，从而得以死里逃生，而被婚配的男方却只有一死了。因为这个缘故，有多少男人也不敢