Question

高数 闭区间上连续函数的性质

求证

Answer 1

因为f(x)在[a,b]上连续，且a<x1<x2<b
所以f(x)在闭区间[x1,x2]上连续，即f(x)在[x1,x2]上有界
所以存在最小值m和最大值M，使得m<=f(x)<=M
对k1>0，k2>0，有
k1*m<=k1*f(x1)<=k1*M，k2*m<=k2*f(x2)<=k2*M
(k1+k2)*m<=k1*f(x1)+k2*f(x2)<=(k1+k2)*M
m<=[k1*f(x1)+k2*f(x2)]/(k1+k2)<=M
因为f(x)在闭区间[x1,x2]上连续，所以根据闭区间上连续函数介值定理的推论
f(x)可以取到最小值m和最大值M间的所有中介值
即存在ξ∈[x1,x2]⊆(a,b)，使得f(ξ)=[k1*f(x1)+k2*f(x2)]/(k1+k2)
k1*f(x1)+k2*f(x2)=(k1+k2)*f(ξ)
证毕