Question

复合函数求导为什么不能先求总函数的导函数，再把U与X的关系代人导函数？

复合函数求导为什么不能先求总函数的导函数，再把U与X的关系代人导函数？

Answer 1

复合函数求导，用的是链式法则，
若y=f(x), x=g(t), t=h(v)，则y对t的导数：dy/dt=dy/dx·dx/dt
y对v的导数：dy/dv=dy/dx·dx/dt·dt/dv
求偏导是多元函数的内容，
例如函数u(x,y)，若x(t, v)，y(t, v)，则u对x偏导：partial u/partial x(partial就是偏，把y作常数）
u对y偏导：partial u/partial y
但u对v，t 的偏导又不一样了，原因是x，y里都有v，t。这时也要用到链式法则：
u对v偏导：partial u/partial x·partial x/partial v+partial u/partial y· partial y/partial v
也就是说v变化了，然后x，y也跟着v变，x，y变化又影响到u，所以u也受到影响，耐不住寂寞，u就变了；u对t求偏导的解释一样。
注意：u(x,y)，x(t, v)，y(t, v)，有5个变量，u、x、y、v、t，3个方程，所以，只能确定3个函数
下面再来看另一种简单而又复杂的情况：
u(x, y)，y(x)，
首先介绍个全导数的概念：全导数就是说，如果一个多元函数“最终”的变化量只受到一个自变量影响，如同上式（u仅受x影响），我们就把这个自变量单位变化量所引起的多元函数的变化量叫做这个多元函数的全导数，上式的全导数记作“du/dx "，其值为
du/dx=partial u/partial x+partial u/partial y· dy/dx；（注意写法，y是x的单变量函数，所以没有偏导）
而若求u对x,y的偏导，则分别为：
u对x偏导：partial u/partial x
u对y偏导：partial u/partial y
如果由另一种形式给出，即：u(x, y)，y(t)，x(t)，此时u仅受t影响，
那么du/dx=partial u/partial x·dx/dt+partial u/partial y· dy/dt