Question

第8题，高等数学，利用中值定理求极限

Answer 1

考察函数 f(t) = lnarctant，它在 （x，x+1）上满足拉格朗日中值定理，
因此存在 a∈(x，x+1) 使 f ' (a) = [f(x+1)-f(x)] / [(x+1)-x]，
即 1/arctan(a) * 1/(1+a^2) = lnarctan(x+1) - lnarctanx，
当 x→+∞ 时 a→+∞，且由 x<a<x+1 知 a/x → 1，
所以原式 = lim(a→+∞) x^2 / arctan(a) * 1/(1+a^2)
=1/(兀/2) * 1/(0+1) = 2/兀 。