Question

路过的考研老师，学霸，麻烦看一下，这个级数题怎么做啊？急死我了

Answer 1

n[an-a(n-1)]
=n*an-n*a(n-1)
=n*an-(n-1)*a(n-1)-a(n-1)
则数列{n[an-a(n-1)]}的前n项和=数列{n*an-(n-1)*a(n-1)-a(n-1)}的前n项和
=(a1-a0)+(2*a2-a1-a1)+(3*a3-2*a2-a2)+(4*a4-3*a3-a3)+...+[n*an-(n-1)*a(n-1)-a(n-1)]

=n*an-[a0+a1+a2+...+a(n-1)]
因为∑n[an-a(n-1)]收敛，所以前n项和趋向于0
即lim(n->∞)[n*an-[a0+a1+a2+...+a(n-1)]]=0
因为{n*an}收敛，所以n*an趋向于0
所以lim(n->∞)[a0+a1+a2+...+a(n-1)]=0
即数列{a(n-1)}的前n项和趋向于0
即∑a(n-1)收敛
因为∑an=a0+∑a(n-1)
所以∑an也收敛