Question

这道高数题，怎么做？

Answer 1

已知级数条件收敛，那么级数一般项加绝对值后的级数是发散的，原级数是收敛的。①一般项加绝对值后的级数，先对一般项分子有理化

然后使用比较审敛法的极限形式，求n趋于无穷大下面的极限

说明这个级数与级数1/n的(k＋1/2)次幂敛散性相同，根据已知条件这是个发散的p级数

所以k＋1/2≤1，即k≤1/2。②原级数是个交错级数，根据莱布尼茨判别法，要求一般项的绝对值单调递减，分子有理化后可求出是当且仅当k≥－1/2时，随着n增大而减小，同时一般项的绝对值趋于0，当k≥0恒成立，当k＜0，一般项绝对值化为

－k＜1/2才能保证极限是0，那么k＞－1/2。综合①②，得出k的取值范围是

Answer 2

(4)
let
u=√x
2udu = dx
x=0, u=0
x=1, u=1
∫(0->1) arccos[ 1/√(1+x)] dx

=[x.arccos[ 1/√(1+x)] ]|(0->1) + ∫(0->1) { x/√ [1- 1/(1+x)] }[ (-1/2) (1+x)^(-3/2) } dx
=π/4 - (1/2)∫(0->1) √x/(1+x) dx
=π/4 - (1/2)∫(0->1) [u/(1+u^2) ][ 2udu]
=π/4 -∫(0->1) u^2/(1+u^2) du
=π/4 -∫(0->1) [1 - 1/(1+u^2) du
=π/4 - [u -arctanu]|(0->1)
=π/4 - (1 -π/4)
=π/2 -1