Question

lim x->0 [(1+tanx)^1/2-(1+sinx)^1/2]/[xln(1+x)-x^2]

Answer 1

上下都乘以（1+tanx)^1/2-(1+sinx)^1/2则，
分子变为（1+tanx)-(1+sinx)=tanx-sinx
分母变为[xln(1+x)-x^2]*[（1+tanx)^1/2+(1+sinx)^1/2]
原式=LIM【(tanx-sinx)/{[xln(1+x)-x^2]*[（1+tanx)^1/2+(1+sinx)^1/2]}
】
=LIM【(tanx-sinx)/[x(ln(1+x)-x)]】*LIM【1/[（1+tanx)^1/2+(1+sinx)^1/2]}】
（由函数的连续性，后一项的极限是1/2）
下面求
LIM【(tanx-sinx)/[x(ln(1+x)-x)]】
由于
tanx-sinx=sinx/cosx-sinx*cosx/cosx=sinx(1-cosx)/cosx
所以
LIM【(tanx-sinx)/[x(ln(1+x)-x)]】=LIM【sinx(1-cosx)/[x(ln(1+x)-x)]/cosx】
=LIM【x^3/(2x(ln(1+x)-x))*1/cosx】（根据等价无穷小）
=LIM【x^2/(ln(1+x)-x)】*LIM(1/cosx)（显然后一项极限是1）
=LIM【2x/[1/(1+x)-1]】（洛比达法则）
=-1
所以原式=-1/2