Question

高数 问题过程

Answer 1

f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf（x）存在的必要条件，而不是充要条件” 考虑f(x)在某点处左右极限不相等的情况！必要性：由极限定义： ∵lim(x→x0)f(x)=∞ ∴对于任意的M>0,存在δ>0,st.0<|x-x0|M ∴f(x)在去心领域U(x0,δ)内无界即：f(x)在X0的某一去心邻域内无界是在该点极限无穷的必要条件充分性：证明不充分只要找出反例即可有f(x)=1/x 在去心领域U(1,1)即(0,1)∪(1,2)上无界, 但lim(x→1)f(x)=f(1)=1≠∞ 即不充分

Answer 2

这题和 Lagrange 中值定理没有半毛钱关系。
由于
(e^tanx)-(e^sinx) = (e^sinx){[e^(tanx-sinx)]-1}
~ (e^sinx)*(tanx-sinx) (x→0)，
先作等价无穷小替换，再用洛必达法则，……