Question

泰勒怎么推导等价无穷小的，推导过程写出来，

Answer 1

设f(x)在x=0处可以展开成a0+a1x+a2x²+...
从a1开始，第一个不为0的系数是ak，那么f(x)-a0=ak*x^k+ak+1*x^(k+1)+...
所以f(x)-a0就等价于ak*x^k（当x趋于0时）

追问

不对啊，泰勒在0处展开不是你写的那个啊

追答

那你说写成哪个？

追问

打个比方，1-e∧(-x)这个等价于x，是怎么用泰勒展开式弄出来的，只要泰勒怎么展开的，不要其他方法

追答

e^(-x)在x=0处展开成1-x+x²/2!-x³/3!+...
a1=-1≠0,所以我上面说的k=1,e^(-x)-1~-1*x
因为现在是1-e^(-x),你再取个相反数,等价无穷小就是-(-x)=x咯

追问

能用一张纸写出来呢，你发的我不太懂，自己把泰勒在0处展开，就不会了，你发的a1是首项么

追答

你先把e^x展开一下好吗？指数函数的泰勒展开式，尤其是在x=0处展开（又叫做麦克劳林展开）是要背下来的，你先帮我把这个式子展开成泰勒多项式，谢谢

追问

我已经知道了，展开到系数不相同最低次，不知道是不是同一种方法

追答

什麼系数不相同的最低次,我都说了你展开到第一个系数不为0的项,假设是第k项,那麼f(x)=a0+ak*x^k+o(x^k)对不对?那f(x)-a0不就等於ak*x^k+o(x^k)了吗?不就等价於ak*x^k了吗?

追问

那我们说的不是同一种方法，比如x-sinx等价六分之x³，把x看成A，sinx看成B，把B展开，第一项是x，他前面的系数是1和A前面的系数相同，就再展开，第二项就是-六分之x³他前面的系数就是负六分之一，和A前面的系数不同，就停止展开，然后A-B就是等价的结果，后面都是有o(x³)

追答

那我反问你,x²-sinx,你帮我用你的方法求一下等价无穷小.

追问

那用你的说的方法x+sinx怎么推？展开后两边都加x？

追答

x+sinx=2x+x³/6+...
第一个系数不为0的项是2x，后面通通不用看。而且常数项恰好是0，f(x)都不用减a0了，那就是2x呀