Question

怎么求抛物线的最小值？

Answer 1

答：对于抛物线的标准方程：y=ax^2+bx+c, 求最小值；

首先看二次项系数a, 只有a>0时，才能有最小值; 如果a<0, 只能有最大值，而没有最小值。

在a>0的条件下，才可以求最小值；过程如下：

y=a{x^2+(b/a)x+c/a+[b/(2a)]^2-[b/(2a)]^2}=a[x+b/(2a)]^2+c-b^2/(4a)

=a[x+b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a);

因为[x+b/(2a)]^2>=0; 而(4ac-b^2)/(4a)，是常数与x的变化无关；所以是函数曲线的顶点，见下图，只有[x+b/(2a)]^2=0时，才有最小值；y=0+(4ac-b^2)/(4a)=(4ac-b^2)/(4a)。

Answer 2

具体问题要具体分析。一般来说开口向上的抛物线在实数范围内才有最小值，就是它的顶点函数值，即(4ac-b^2)/(4a). 否则就必须给定取值范围，一般办法是：如果顶点在取值范围内，那么开口向上，即a大于0的就取顶点，否则就比较两个端点的值。