Question

求问一个高数题

Answer 1

考虑函数g(x)=f(x)-x
g'(x)=f'(x)-1≠0
g(0)=f(0),0<g(0)<1;
g(0)>1;
g(1)=f(1)-1<0,
g(x)在[0,1]上连续，必有ξ∈(0,1),g（ξ）=f（ξ）-ξ=0，f(x)=x有一个实根。
反证法：设题目不成立，则至少有两点a,b∈(0,1)，g(a)=g(b)=0,设a<b,
根据中值定理，有ξ∈(a,b)，g'(ξ)=0,即：
f'(ξ)-1=0，f'(ξ)=1，与已知条件矛盾。