Question

设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数，且f(1)＞0,lim（趋于0+时）f(x)/x＜0

求证：f(0)=0

Answer 1

【详解1】如果对曲线在区间[a，b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点x1，x2及常数0≤λ≤1，恒有f（（1-λ）x1+λx2）≥（1-λ）f（x1）+λf（x2），则曲线是凸的．显然此题中x1=0，x2=1，λ=x，则（1-λ）f（x1）+λf（x2）=f（0）（1-x）+f（1）x=g（x），而f（（1-λ）x1+λx2）=f（x），故当f''（x）≤0时，曲线是凸的，即f（（1-λ）x1+λx2）≥（1-λ）f（x1）+λf（x2），也就是f（x）≥g（x），故应该选C 【详解2】如果对曲线在区间[a，b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令F（x）=f（x）-g（x）=f（x）-f（0）（1-x）-f（1）x，则F（0）=F（1）=0，且F''（x）=f''（x），故当f''（x）≤0时，曲线是凸的，从而F（x）≥F（0）=F（1）=0，即F（x）=f（x）-g（x）≥0，也就是f（x）≥g（x），故应该选：C．

Answer 2

lim趋于0+，f（x）/x小于0，说明在x趋于0+的邻域中，x大于0，而f（x）小于0，又因为f1大于0，由连续函数介值定理（或零点定理），知存在一点x使得fx=0，即存在一个实根

Answer 3

这道题能得出两个点是0的点。
第一个是f(0)，用的是保号性，负代换做一下就行了。
第二个就是17年的真题，用的也是保号性，证出(0，0+δ)区域里有fx＜0，f(1)大于0，零点定理，至少存一

Answer 4

张宇18讲第六章的课后习题6.5
题目里说连续，那么左极限等于右极限等于f(0)，x趋于0时极限存在等于A，则limx→0+f(x)=f(0)=Ax,x等于0，所以Ax等于0,f(0)=0

Answer 5

证明不出来我觉得，张宇的书有问题