求数列极限
求数列极限(n趋于无穷)lim(f(a+1/n)/f(a))，其中f在x=a处可导且f(a)不等于0....
求数列极限(n趋于无穷)lim(f(a+1/n)/f(a))，其中f在x=a处可导且f(a)不等于0.
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f(x) 在x=a处可导
根据泰勒展式
f(x) =f(a) + f'(a) (x-a) +o((x-a)^2)
x= a+1/n
f(a+1/n)
=f(a) + f'(a) (1/n) +o(1/n^2)
lim(n->∞) [ f(a+1/n)/ f(a) ] ^n
=lim(n->∞) [ ( f(a) + f'(a) (1/n) )/ f(a) ] ^n
=lim(n->∞) [ 1 + (f'(a)/f(a))(1/n) ]^n
=e^[f'(a)/f(a)]
根据泰勒展式
f(x) =f(a) + f'(a) (x-a) +o((x-a)^2)
x= a+1/n
f(a+1/n)
=f(a) + f'(a) (1/n) +o(1/n^2)
lim(n->∞) [ f(a+1/n)/ f(a) ] ^n
=lim(n->∞) [ ( f(a) + f'(a) (1/n) )/ f(a) ] ^n
=lim(n->∞) [ 1 + (f'(a)/f(a))(1/n) ]^n
=e^[f'(a)/f(a)]
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