Question

线性代数基础，将如图矩阵换为行最简形矩阵

Answer 1

在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元，则称该矩阵为行阶梯矩阵。若非零行的第一个非零元都为1，且这个非零元所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。

Answer 2

|A| = 2k+50+12-5-15k-16 = 41-13k
k = 41/13 时， r(A) = 2,
k ≠ 41/13 时， r(A) = 3.
当 k = 41/13 时, A 初等行变换为
[5 3 2]
[4 1 5]
[41 26 13]
初等行变换为
[1 2 -3]
[4 1 5]
[41 26 13]
初等行变换为
[1 2 -3]
[0 -7 17]
[0 -56 136]
初等行变换为
[1 2 -3]
[0 -7 17]
[0 0 0]
初等行变换为
[1 0 13/7]
[0 1 -17/7]
[0 0 0]
初等行变换为
[1 0 13/7]
[0 1 -17/7]
[0 0 0]
为行最简形矩阵。
当 k ≠ 41/13 时, A 等价于 E，
其行最简形矩阵是 E

Answer 3

A =
[ k, 2, 1]
[ 4, 1, 5]
[ 5, 3, 2]
交换第1,3行
A =
[ 5, 3, 2]
[ 4, 1, 5]
[ k, 2, 1]
第1行 - 第2行
A =
[ 1, 2, -3]
[ 4, 1, 5]
[ k, 2, 1]
第2行 - 4×第1行

第3行 - k×第1行
A =
[ 1, 2, -3]
[ 0, -7, 17]
[ 0, 2 - 2*k, 3*k + 1]
第2行×(-1/7)

A =
[ 1, 2, -3]
[ 0, 1, -17/7]
[ 0, 2 - 2*k, 3*k + 1]
第3行 - (2-2k)×第2行
A =
[ 1, 2, -3]
[ 0, 1, -17/7]
[ 0, 0, 41/7 - (13*k)/7]
下面分参数k的不同值进行讨论：
（1）当k = 41/13 时
A =
1 2 -3
0 1 -17/7
0 0 0
第1行 - 2 × 第2行
A
=
1 0 13/7
0 1 -17/7
0 0 0
（2）当 k ≠ 41/13 时
A =
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1