Question

已知两相交圆的方程,如何求相交直线方程

Answer 1

其实很简单:
设两个圆的方程为：x^2+y^2+Ax+By+C=0,x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
两式相减就得到(A-D)x+(B-E)y+(C-F)=0就是所求的直线方程(前提是两圆相交).
证明也简单，两圆的交点必然满足(A-D)x+(B-E)y+(C-F)=0，这是一条直线方程，两圆相交就是有两个不同的交点，而过两点的直线是唯一的所以(A-D)x+(B-E)y+(C-F)=0就是交线方程.

Answer 2

答：
有两个圆的方程，它们是:(x±3)^2+(y±1)^2=9
解：
设⊙o的园心为（a，b）
已知⊙o与y轴相切，故r=|a|
⊙o:(x-a)^2+(y-b)^2=a^2
已知圆心在直线x-3y=0上,故a-3b=0,a=3b......(1)
⊙o截得直线y=x所得弦长为2根号7
(x-a)^2+(y-b)^2=a^2,y=x
(x-a)^2+(x-b)^2=a^2
2x^2-2(a+b)x+b^2=0
x=y=[a+b±√(a^2+2ab-b^2)]/2
x1-x2=√(a^2+2ab-b^2),(x1-x2)^2=(a^2+2ab-b^2)
y1-y2=√(a^2+2ab-b^2),(y1-y2)^2=(a^2+2ab-b^2)
√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=2√7
√[2(a^2+2ab-b^2)]=2√7
a^2+2ab-b^2-14=0......(2)
解方程组（1）、（2），得
b^2=1
b=±1,a=±3,r=3
⊙o:(x-a)^2+(y-b)^2=a^2
⊙o:(x±3)^2+(y±1)^2=9