高数 和函数 求解
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令S(x)=∑(n=0->∞) [(2n+1)/n!]*x^(2n)
∫(0,x) S(t)dt=∫(0,x) ∑(n=0->∞) [(2n+1)/n!]*t^(2n)dt
=∑(n=0->∞) ∫(0,x) [(2n+1)/n!]*t^(2n)dt
=∑(n=0->∞) (1/n!)*x^(2n+1)
=x*∑(n=0->∞) [(x^2)^n]/n!
=x*e^(x^2)
所以S(x)=[x*e^(x^2)]'
=e^(x^2)+x*e^(x^2)*2x
=(2x^2+1)*e^(x^2)
令p=lim(n->∞) |(2n+3)/(n+1)!|/|(2n+1)/n!|
=lim(n->∞) (2n+3)/(2n+1)(n+1)
=0
所以S(x)的收敛域为(-∞,+∞)
∫(0,x) S(t)dt=∫(0,x) ∑(n=0->∞) [(2n+1)/n!]*t^(2n)dt
=∑(n=0->∞) ∫(0,x) [(2n+1)/n!]*t^(2n)dt
=∑(n=0->∞) (1/n!)*x^(2n+1)
=x*∑(n=0->∞) [(x^2)^n]/n!
=x*e^(x^2)
所以S(x)=[x*e^(x^2)]'
=e^(x^2)+x*e^(x^2)*2x
=(2x^2+1)*e^(x^2)
令p=lim(n->∞) |(2n+3)/(n+1)!|/|(2n+1)/n!|
=lim(n->∞) (2n+3)/(2n+1)(n+1)
=0
所以S(x)的收敛域为(-∞,+∞)
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