Question

已知等比数列｛an｝的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3 ?? +9a2a6.

Answer 1

(1)a3^2=9a2a6
(a2p)^2=9a2(a2p^4)
a2^2p^2=9a2^2p^4
∵此数列各项均为正数∴a2^2<>0,p>0
两边同时除以a2^2p^2，得9p^2=1,p=1/3
2a1+3a2=1
2a1+3*[(1/3)*a1]=1
2a1+a1=1
3a1=1
a1=1/3
an=a1p^(n-1)=1/3*(1/3)^(n-1)=1/3^n
(2)bn=log3a1+log3a2+...+log3an
=log3(a1*a2*...*an)
=log3[(1/3)*(1/3^2)*...*(1/3^n)]
=log3[(1/3)^(1+2+...+n)]
=(1+2+...+n)*log3(1/3)
=-n(n+1)/2
1/bn=-2/n(n+1)
=(-2)*[1/n(n+1)]
=(-2)*[1/n-1/(n+1)]
1/b1+1/b2+...+1/bn
=(-2)*(1-1/2)+(-2)*(1/2-1/3)+...+(-2)*[1/n-1/(n+1)]
=(-2)*[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=(-2)*[1-1/(n+1)]
=-2n/(n+1)

Answer 2

解：
1）
令等比数列an的通项公式为：
an=a1q^(n-1)，则：
2a1+3a1q=1
(a1q²)²=9a1qa1q^(5)
于是：
2a1+3a1q=1
q²=1/9
因此：
q=1/3
或者
-1/3
又∵an>0
因此：q=1/3，于是：
a1=1/3
an=(1/3)^n
2)
cn=bn/an
=(2n-1)/(1/3)^n
令数列{cn}的前n项和为tn，则：
tn=1/(1/3)
+
3/(1/3)²
+
5/(1/3)³
+
....+
(2n-1)/(1/3)^n
而：
tn/3
=
1/(1/3)²
+
3/(1/3)³
+
....+
(2n-3)/(1/3)^n
+
(2n-1)/(1/3)^(n+1)
上述两式相减：
2tn/3
=1/(1/3)
+
2[1/(1/3)²
+
1/(1/3)³+
...+
1/(1/3)^n]
-
(2n-1)/(1/3)^(n+1)
=1/(1/3)
+
2[1/(1/3)²]*[1-(1/3)^(n-1)]
/
(2/3)
-
(2n-1)/(1/3)^(n+1)
=3
+
27[1-(1/3)^(n-1)]
-
(2n-1)/(1/3)^(n+1)
tn
=
9/2
+
(81/2)[1-(1/3)^(n-1)]
-
[3(2n-1)/2(1/3)^(n+1)]