Question

若方程：x^2+kx+1-i=0有一个纯虚根，求k的值，并求方程的根。

Answer 1

设这个纯虚根为ai,则代入x^2+kx+1-i=0得
(ai)^2+k*ai+1-i=0
a^2*i^2+ka*i+1-i=0
合并同类项得-a^2+1+(ka-1)i=0　　
要使实数＋虚数=0，只能各自都为0
即1-a^2=0且ka-1=0
即a=1,k=1或a=-1,k=-1
当k=1时,x^2+x+1-i=0,即(x-i)(x+i+1)=0即两根为i和-i-1
当k=-1时,x^2-x+1-i=0,即(x+i)(x-i-1)=0即两根为-i和i+1

Answer 2

设虚根为bi，则有（bi）^2+kbi+1-i=0
变形为：-b^2+kbi+1-i=0
(1-b^2)+(kb-1)i=0
得：1-b^2=0且kb-1=0，解得b=1,k=1;或者b=-1,k=-1.
当k=1时，方程两根为：x1=i和x2=-1-i；
当k=-1时，方程两根为：x1=-i和x2=1+i。

Answer 3

如果K是实数，则根据伟达定理，其中X1+X2=K,X1*X2=1-i,解得，X1=i,X2=-1-i,K=-1
如果K不是实数，有无数解

Answer 4

x^2+kx+1-i=0有一个纯虚根x1，则x1^2为一负数，kx为一纯虚数
等式成立，存在x1^2＝1
x1=±i
且kx＝i
则x1=i时，k=1,方程为x^2+x+1-i=0
解得x1=i
x2=-i-1
x1=-i时，k=-1,方程为x^2+x+1-i=0
解得x1=-i
x2=i+1

Answer 5

x²+kx+1-i=0有一个纯虚根bi,b∈R,b≠0,则另一根为-bi(共轭)，
代入得
-b²+kbi+1-i=0,-b²-kbi+1-i=0,
解得k=0,x=±
√(1-i).
但k=0时,-b²+1-i≠0,故此题系数有误。