Question

三角形abc的内角abc的对边分别为a,b,c,已知△abc的面积为a²/3sina.求6cosbcosc=1,a=3,求△abc的周长

Answer 1

三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为a^2/(3sinA).且6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
解：△ABC的面积为a^2/(3sinA)=(1/2)bcsinA,
由正弦定理，sinBsinC=2/3，①
6cosBcosC=1，
cosBcosC=1/6,②
②-①得cos(B+C)=1/6-2/3=-1/2，
cosA=1/2,sinA=√3/2，
②平方得(1-sin^B)(1-sin^C)=1/36,
∴1-sin^B-sin^C+sin^BsinC=1/36,
由①，sin^B+sin^C=1+4/9-1/36=17/12,
∴(sinB+sinC)^2=17/12+4/3=11/4,
∴sinB+sinC=√11/2，
∴△ABC的周长=a(sinA+sinB+sinC)/sinA=√3(√3+√11)=3+√33.

Answer 2

3cos（b-c）-1=6cosbcosc，
化简得：3（cosbcosc+sinbsinc）-1=6cosbcosc，
变形得：3（cosbcosc-sinbsinc）=-1，
即cos（b+c）=-

1
3
，
则cosa=-cos（b+c）=

1
3
；
（2）∵a为三角形的内角，cosa=

1
3
，
∴sina=

1-cos2a
=

2

2
3
，
又s
△abc
=2

2
，即

1
2
bcsina=2

2
，解得：bc=6①，
又a=3，cosa=

1
3
，
∴由余弦定理a
2
=b
2
+c
2
-2bccosa得：b
2
+c
2
=13②，
联立①②解得：

b=2
c=3
或

b=3
c=2
．