Question

A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有A的列向量组线性相关、B的行向量组线性相关。为什么不是A的列向

Answer 1

方法一：
设a为m×n矩阵，b 为n×s矩阵，
则由ab=o知：r（a）+r（b）≤n，
又a，b为非零矩阵，则：
必有rank（a）＞0，rank（b）＞0，
可见：rank（a）＜n，rank（b）＜n，
即a的列向量组线性相关，b的行向量组线性相关，
故选：a．
方法二：
由ab=o知：b的每一列均为ax=0的解，
又∵b为非零矩阵，
∴ax=0存在非零解，
从而：a的列向量组线性相关．
同理，由ab=o知，btat=o，
有：bt的列向量组线性相关，
所以b的行向量组线性相关，
故选a．

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

一楼dasa
zxc的解答是清楚正确的。只是未回答“为什么不是B的列向量组线性相关、A的行向量组线性相关呢?”这一问题。
其实，只要举出例子，说明AB=0时，A的行向量可能线性无关也可能线性相关即可。
取A=(1,1),转置B=(1,-1)
AB=0.而A只有一行，非零，
故其行向量线性无关。
又取C为2×2方阵，各元素均为1.仍有CB=0,
容易知道，C的行向量也线性相关。
故可采纳一楼dasa
zxc的解答

Answer 4

将A的按列分块，得A=（a1，a2，...,an）因B非零
从而至少存在一列不为0，不妨设为b=（b1,b2,...bn）的转置，按分块矩阵乘法拆开就有Ab=0=b1a1+b2a2+...+bnan
由于b1到bn中至少有一个不为零，从而对于向量组{an}来说
存在系数不全为零
但线性组合为零
这就说明A的列向量组线性相关。
另一方面
将AB=0两边取转置得B转置A转置=0，从而同样利用上面的分析方法得到B转置的列向量线性相关，从而B的行向量线性相关。