什么叫做完全平方数 5
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一个正整数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,……
通过对这些完全平方数的观察和分析，我们可以获得一些规律性的认识。下面是完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8k或8k+4型。
性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16k,16k+1, 16k+4,16k+9。
性质10：完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。
性质11： a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质12：如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。
性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
n^2<k<(n+1)^2, 则k一定不是完全平方数。
性质14：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。
性质15：完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。
性质16：若质数p整除完全平方数a，则p^2|a。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:31:17
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(二)与上述性质相对应的几个结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3k+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4k+2和4k+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5k±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6,8k+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:33:15
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(三)范例解析
[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2................(1)
x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)
(2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明：设这四个整数之积加上1为m，则
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]：求证：11,111,1111,......,111...1(n个1)这串数中没有完全平方数。
分析：形如111...1(n个1)的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
111...1(n个1)=(10a+1)^2 或 111...1(n个1)=(10a+9)^2
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明：若111...1(n个1)=(10a+1)^2=100a^2+20a+1，则
111...10=100a^2+20a, 111...1(n-1个1)=10a^2+2a
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若111...1(n个1)=(10a+9)^2，同理。
综上所述，不可能是完全平方数。
另证：由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
[例4]：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
分析：有奇数个约数为完全平方数，即求从200至1800的自然数中有多少个完全平方数。
解：从200到1800的自然数中，完全平方数有15^2，16^2，……，42^2。共有42―15+1=28个数满足题意。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3｜600 ∴3｜A
此数有3的因子，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:37:56
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[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
解：设此数为aabb，则：aabb=a0b*11
此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
[例7]：求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
解：设22n+5=N^2，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
N^2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2n-1)
11｜N - 4或11｜N + 4
N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,......)
经试数可知，此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]：有两个数，它们各个数位的数字从左到右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这两个数。
解：由题意可知这个六位数的个位数字应大于或等于6。∵123456=3×8^3×643不是完全平方数，又因为完全平方数个位只能是0，1，4，5，6，9。∴这个六位数的个位只能是9。∴另一个数的个位只能是3或7，并且另一个数是大于300的三位数。∵数字从左到右越来越大，∴个位数只能是7，∴可能有347，357，367，457，467，经检验，只有367^2=134689符合。
[例9]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
解：n头羊的总价为n^2元，由题意知n^2元中含有奇数个10元，即完全平方数n^2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，n^2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。
[例10]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。
又由分析可得x+y=11。
∴N=11^2*(9x+1)∴9x+1是一个完全平方数，验算知x=7满足条件。
又由x+y=11得y=4。∴S=xy=28cm^2.
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:41:42
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[例11]：少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？
分析：灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关。最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次。而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数，因此约数个数为奇数个的编号，灯泡亮着，即编号为完全平方数的灯泡符合题意。
解：某个灯泡，如果它的亮暗变化的次数是奇数，那么它是明亮的。根据题意可知，号码为K的灯泡，亮暗变化的次数等于K的约数的个数，若K的约数的个数是奇数，则K一定是平方数。所以200秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数，所以200秒时明亮的灯泡有14个。
[例12]：“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
解：设满足题目需求的平方数为χ，则由
45^2<1993+100<46^2，
54^2<1993+999<55^2，可知
45^2<1993+100≤χ≤1993+999<55^2
其中共有46^2，47^2，……，54^2这9个完全平方数。
∴共有9个三位数符合要求。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:48:55
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（四）练习题
1．把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（ ）位数字。
2．46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是——。
3．祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是——。
4．把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是——。
5．已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为——。
6．已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是——。
7．如n减58是完全平方数，n加31也是完全平方数，则n是——。
8．从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是——。
9．用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？
10．是否存在自然数a,b使得2ab11*7是完全平方数？
11．一所小学开运动会，全体学生在操场上排队，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后来体育老师调整了队形，正好排成每行人数和行数相等的队形，问这所小学共有学生多少人？
12．小东和小明一起到果园去栽树，准备好的树苗正好可以把这些果树栽成每行每列相同棵数的方阵，每人栽好8棵就休息一次，当他们把300多棵树苗都栽好时，每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵。问他们共栽了多少树？
13．小亮邀请小强一起玩弹子游戏，小亮拿出一盒弹子，弹子的数量是一个完全平方数。他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个。为了平均分配，小亮给了小强2个，这样两人拿到的弹子就一样多了。问这盒弹子共有多少个？
14．两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，求较大数与较小数的差。
15．设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且n>p, n>m。求证：2n-1必为完全平方数。
16．设平方数y^2是11个相继整数的平方和，求y的最小值。
17．求自然数n，使Sn=9+17+25+……+（8n+1）=4n^2+5n为完全平方数。
18．是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5？
19．是否存在两个正整数a,b，使得（a^2+2b）与（b^2+2a）同为完全平方数？
20．若a,b为整数，求证：[a^4+b^4+(a+b)^4]/2是完全平方数。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:54:22
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21．求k的最大值，使得3^7可以表示为k个连续正整数之和。
22．若a,b为整数，且24a^2+1=b^2。求证：a,b中有且仅有一个是5的倍数。
23．求证：若a是完全平方数，则a的正约数的个数一定是奇数；反之，若自然数a的正约数的个数为奇数，则a是完全平方数。
24．求出满足下列条件的所有三位数：这个三位数的平方的末三位数就是原来的三位数。
25．若d为自然数，求证：2d-1,5d-1,13d-1不可能都是完全平方数。
26．加上400后就可以成为完全平方数的四位数有几个？
27．四个连续正整数的倒数和为19/20，则着四个整数的平方和是——。
28．求证：对任意正整数k，2k-1和2k+1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和。
29．若a,b是相邻两个自然数，c=a*b，求证：a^2+b^2+c^2是某个奇数的平方。
30．使得m^2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是多少？
31．设正整数a,b,c,d满足a^2+6^2=b^2, d^2+10^2=c^2，求c^2+d^2-a^2-b^2的值。
32．使2^8+2^11+2^n为完全平方数的n的值。
33．若A1,A2,A3,……,Ak是n的全部正约数，求证n^k是完全平方数。
34．设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。
35．求一个三位数，使它等于一个自然数n的平方，且各位数字之积等于n-1。
36．接连写出偶数个1形成的数A，再写出一半那么多个的4形成的数B, 试征：A+B+1是完全平方数。
37．若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。
38．求使得2^m+3^n为完全平方数的所有正整数m和n。
39．求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中有一个非零）。
40．设有四个整数2，5，13及d，其中d不等于2，5，13。证明：在四个数中存在两个数a,b使得a*b-1不是完全平方数。
41．若x,y为正整数，使得x^2+y^2-x能被2xy整除。求证：x为完全平方数。
42．证明：7111…12888…89是一个完全平方数（1和8均为n-1个）。
43．已知直角三角形的两直角边长分别为p,m，斜边长为n，且p,m,n均为正整数，l为质数。求证：2（p+m+1）是完全平方数。
44。有这样一个数组，由K个互不相同的自然数（不含0）组成，其中任一两个数之和都是完全平方数，称之为平方数组。当K=3时，求使这三个数之和为最小的一个平方数组。当K=4,5时又如何？
45．自然数N是完全平方数。N不是10的倍数，但把N最后两位数字擦去，剩下的刚巧还是完全平方数(例如N可以是121，把21擦去，剩下的1还是完全平方数)。问N最大是多少?
46．设1/a+1/b=1/c，其中a、b、c是正整数，且三个数的最大公因数是1，求证：
a+b是一个完全平方数
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-- 发布时间：2004-10-27 9:55:45
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（五）拓展
与完全平方数的末几位数有关的数字问题：
1、完全平方数的末两位数字只能是00；01，21，41，61，81；04，24，44，64，84；
25；16，36，56，76，96；09，29，49，69，89共22种可能
2、如果把某个自然数任意计算它的N次方后，得到的各种结果的末A位数与原自然数的末A位数相同，我们就称这个自然数为“永恒数”，
例如：一位自然数的永恒数有1，5，6三个；
两位的永恒数一个是25， 另一个是101—25=76；
三位的永恒数是25的平方625，还有一个是1001—625=376；
四位的永恒数是625的平方90625的末四位：0625，与10001—0625=9376，由于的首位是0，实际只有一个9376，
五位的永恒数是90625与100001—90625=09376，实际只有一个90625，9376的平方87909376的末五位数是09376，用100001—09376=90625，
六位的永恒数是---------------
从上面能否发现一些永恒数的规律：
从两位数开始永恒数一般只有两个且成对出现（当首位出现0时例外），每一对永恒数的结果总等于10？？01（比这对永恒数的位数多一位）。
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0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,……
通过对这些完全平方数的观察和分析，我们可以获得一些规律性的认识。下面是完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8k或8k+4型。
性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16k,16k+1, 16k+4,16k+9。
性质10：完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。
性质11： a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质12：如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。
性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
n^2<k<(n+1)^2, 则k一定不是完全平方数。
性质14：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。
性质15：完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。
性质16：若质数p整除完全平方数a，则p^2|a。
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(二)与上述性质相对应的几个结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3k+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4k+2和4k+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5k±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6,8k+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
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-- 发布时间：2004-10-27 9:33:15
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(三)范例解析
[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2................(1)
x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)
(2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明：设这四个整数之积加上1为m，则
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]：求证：11,111,1111,......,111...1(n个1)这串数中没有完全平方数。
分析：形如111...1(n个1)的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
111...1(n个1)=(10a+1)^2 或 111...1(n个1)=(10a+9)^2
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明：若111...1(n个1)=(10a+1)^2=100a^2+20a+1，则
111...10=100a^2+20a, 111...1(n-1个1)=10a^2+2a
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若111...1(n个1)=(10a+9)^2，同理。
综上所述，不可能是完全平方数。
另证：由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
[例4]：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
分析：有奇数个约数为完全平方数，即求从200至1800的自然数中有多少个完全平方数。
解：从200到1800的自然数中，完全平方数有15^2，16^2，……，42^2。共有42―15+1=28个数满足题意。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3｜600 ∴3｜A
此数有3的因子，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。
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[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
解：设此数为aabb，则：aabb=a0b*11
此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
[例7]：求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
解：设22n+5=N^2，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
N^2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2n-1)
11｜N - 4或11｜N + 4
N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,......)
经试数可知，此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]：有两个数，它们各个数位的数字从左到右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这两个数。
解：由题意可知这个六位数的个位数字应大于或等于6。∵123456=3×8^3×643不是完全平方数，又因为完全平方数个位只能是0，1，4，5，6，9。∴这个六位数的个位只能是9。∴另一个数的个位只能是3或7，并且另一个数是大于300的三位数。∵数字从左到右越来越大，∴个位数只能是7，∴可能有347，357，367，457，467，经检验，只有367^2=134689符合。
[例9]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
解：n头羊的总价为n^2元，由题意知n^2元中含有奇数个10元，即完全平方数n^2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，n^2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。
[例10]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。
又由分析可得x+y=11。
∴N=11^2*(9x+1)∴9x+1是一个完全平方数，验算知x=7满足条件。
又由x+y=11得y=4。∴S=xy=28cm^2.
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:41:42
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[例11]：少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？
分析：灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关。最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次。而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数，因此约数个数为奇数个的编号，灯泡亮着，即编号为完全平方数的灯泡符合题意。
解：某个灯泡，如果它的亮暗变化的次数是奇数，那么它是明亮的。根据题意可知，号码为K的灯泡，亮暗变化的次数等于K的约数的个数，若K的约数的个数是奇数，则K一定是平方数。所以200秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数，所以200秒时明亮的灯泡有14个。
[例12]：“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
解：设满足题目需求的平方数为χ，则由
45^2<1993+100<46^2，
54^2<1993+999<55^2，可知
45^2<1993+100≤χ≤1993+999<55^2
其中共有46^2，47^2，……，54^2这9个完全平方数。
∴共有9个三位数符合要求。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:48:55
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（四）练习题
1．把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（ ）位数字。
2．46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是——。
3．祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是——。
4．把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是——。
5．已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为——。
6．已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是——。
7．如n减58是完全平方数，n加31也是完全平方数，则n是——。
8．从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是——。
9．用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？
10．是否存在自然数a,b使得2ab11*7是完全平方数？
11．一所小学开运动会，全体学生在操场上排队，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后来体育老师调整了队形，正好排成每行人数和行数相等的队形，问这所小学共有学生多少人？
12．小东和小明一起到果园去栽树，准备好的树苗正好可以把这些果树栽成每行每列相同棵数的方阵，每人栽好8棵就休息一次，当他们把300多棵树苗都栽好时，每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵。问他们共栽了多少树？
13．小亮邀请小强一起玩弹子游戏，小亮拿出一盒弹子，弹子的数量是一个完全平方数。他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个。为了平均分配，小亮给了小强2个，这样两人拿到的弹子就一样多了。问这盒弹子共有多少个？
14．两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，求较大数与较小数的差。
15．设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且n>p, n>m。求证：2n-1必为完全平方数。
16．设平方数y^2是11个相继整数的平方和，求y的最小值。
17．求自然数n，使Sn=9+17+25+……+（8n+1）=4n^2+5n为完全平方数。
18．是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5？
19．是否存在两个正整数a,b，使得（a^2+2b）与（b^2+2a）同为完全平方数？
20．若a,b为整数，求证：[a^4+b^4+(a+b)^4]/2是完全平方数。
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:54:22
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21．求k的最大值，使得3^7可以表示为k个连续正整数之和。
22．若a,b为整数，且24a^2+1=b^2。求证：a,b中有且仅有一个是5的倍数。
23．求证：若a是完全平方数，则a的正约数的个数一定是奇数；反之，若自然数a的正约数的个数为奇数，则a是完全平方数。
24．求出满足下列条件的所有三位数：这个三位数的平方的末三位数就是原来的三位数。
25．若d为自然数，求证：2d-1,5d-1,13d-1不可能都是完全平方数。
26．加上400后就可以成为完全平方数的四位数有几个？
27．四个连续正整数的倒数和为19/20，则着四个整数的平方和是——。
28．求证：对任意正整数k，2k-1和2k+1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和。
29．若a,b是相邻两个自然数，c=a*b，求证：a^2+b^2+c^2是某个奇数的平方。
30．使得m^2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是多少？
31．设正整数a,b,c,d满足a^2+6^2=b^2, d^2+10^2=c^2，求c^2+d^2-a^2-b^2的值。
32．使2^8+2^11+2^n为完全平方数的n的值。
33．若A1,A2,A3,……,Ak是n的全部正约数，求证n^k是完全平方数。
34．设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。
35．求一个三位数，使它等于一个自然数n的平方，且各位数字之积等于n-1。
36．接连写出偶数个1形成的数A，再写出一半那么多个的4形成的数B, 试征：A+B+1是完全平方数。
37．若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。
38．求使得2^m+3^n为完全平方数的所有正整数m和n。
39．求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中有一个非零）。
40．设有四个整数2，5，13及d，其中d不等于2，5，13。证明：在四个数中存在两个数a,b使得a*b-1不是完全平方数。
41．若x,y为正整数，使得x^2+y^2-x能被2xy整除。求证：x为完全平方数。
42．证明：7111…12888…89是一个完全平方数（1和8均为n-1个）。
43．已知直角三角形的两直角边长分别为p,m，斜边长为n，且p,m,n均为正整数，l为质数。求证：2（p+m+1）是完全平方数。
44。有这样一个数组，由K个互不相同的自然数（不含0）组成，其中任一两个数之和都是完全平方数，称之为平方数组。当K=3时，求使这三个数之和为最小的一个平方数组。当K=4,5时又如何？
45．自然数N是完全平方数。N不是10的倍数，但把N最后两位数字擦去，剩下的刚巧还是完全平方数(例如N可以是121，把21擦去，剩下的1还是完全平方数)。问N最大是多少?
46．设1/a+1/b=1/c，其中a、b、c是正整数，且三个数的最大公因数是1，求证：
a+b是一个完全平方数
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-- 作者：过路人
-- 发布时间：2004-10-27 9:55:45
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（五）拓展
与完全平方数的末几位数有关的数字问题：
1、完全平方数的末两位数字只能是00；01，21，41，61，81；04，24，44，64，84；
25；16，36，56，76，96；09，29，49，69，89共22种可能
2、如果把某个自然数任意计算它的N次方后，得到的各种结果的末A位数与原自然数的末A位数相同，我们就称这个自然数为“永恒数”，
例如：一位自然数的永恒数有1，5，6三个；
两位的永恒数一个是25， 另一个是101—25=76；
三位的永恒数是25的平方625，还有一个是1001—625=376；
四位的永恒数是625的平方90625的末四位：0625，与10001—0625=9376，由于的首位是0，实际只有一个9376，
五位的永恒数是90625与100001—90625=09376，实际只有一个90625，9376的平方87909376的末五位数是09376，用100001—09376=90625，
六位的永恒数是---------------
从上面能否发现一些永恒数的规律：
从两位数开始永恒数一般只有两个且成对出现（当首位出现0时例外），每一对永恒数的结果总等于10？？01（比这对永恒数的位数多一位）。
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例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。证明 奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得（10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1（10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9（10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a^2+5+1)+5（10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a^2+7+2)+9（10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a^2+9+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明 已知m^2=10k+6，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则10k+6=(10n+4)^2=100n^2+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6)^2=100n^2+(12n+3)x10+6即 k=10n^2+8n+1=2(5n^2+4n)+1或 k=10n^2+12n+3=2(5n^2+6n)+3∴ k为奇数。推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1（2k)^2=4k^2性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到（2k+1)^2是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)^2为8n型或8n+4型的数。性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得（3m)^2=9m^2=3k（3m+1)^2=9m^2+6m+1=3k+1（3m+2)^2=9m^2+12m+4=3k+1同理可以得到：性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。性质8：形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。下面以四位数为例来说明这个命题。设四位数为，则1000a+100b+10c+d= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。对于n位数，也可以仿此法予以证明。关于完全平方数的数字和有下面的性质：性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而（9k)^2=9(9k^2)+0（9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1（9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4（9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9（9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：性质10：为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。证明 充分性：设b为平方数，则=(ac)必要性：若为完全平方数，=，则性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。即若n^2 < k^2 < (n+1)^2则k一定不是整数。性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。
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一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
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一个数是另一个数的平方，它就叫完全平方数。像4，9，25……
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