Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 cosA-3cosC cosB = 3c-a b ．（

Answer 1

（1）、由正弦定理：sina/a=sinb/b=sinc/c，得：（3c-a）/b=（3sinc-sina）/sinb=（cosa-3cosc）/cosb，展开移项得：cosbsina+sinacosb=3（sinccosb+cosbsinc）；
即：sin（a+b）=3sin（b+c），sinc=3sina，sinc/sina=3。
（2）、c/a=sinc/sina=3，故c=3a，b为钝角，cosb<0，
由余弦定理：cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(a^2+9a^2-100)/6a^2<0，解得：a
b，a>10/4，
所以a的取值范围为：10/4
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Answer 2

（本小题满分14分）
（I）由
正弦定理
，设
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=k
，
则
3c-a
b
=
3ksinC-ksinA
ksinB
=
3sinC-sinA
sinB
，
所以
cosA-3cosC
cosB
=
3sinC-sinA
sinB
．…（4分）
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化简
可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）
又A+B+C=π，
所以sinC=3sinA
因此
sinC
sinA
=3
．…（8分）
（II）由
sinC
sinA
=3
得c=3a．…（9分）
由题意
a+c＞b
a
2
+
c
2
＜
b
2
，…（12分）
∴
5
2
＜a＜
10
…（14分）