Question

已知函数f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-2),a>0,a不等于1,在R上是增函数,求实数a的取值范围

Answer 1

a^x-a^(-x)很容易证明是奇函数
奇函数在(-无穷大,0)与(0,+无穷大)上的单调性相同,所以只需讨论x>0时的情况
设x1>x2
分为3类讨论
1.0<a<1,[a^x1-a^(-x1)]-[a^x2-a^(-x2)]=[a^x1-a^x2]-[a^(-x1)-a^(-x2)]
=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x1-a^x2<0,1+1/a^2(x1+x2)>0
所以a^x-a^(-x)为减函数,a/(a^2-2)<0,所以函数为增函数
2.1<a<√2,[a^x1-a^(-x1)]-[a^x2-a^(-x2)]=[a^x1-a^x2]-[a^(-x1)-a^(-x2)]
=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x1-a^x2>0,1+1/a^2(x1+x2)>0
所以a^x-a^(-x)为增函数,a/(a^2-2)<0,所以函数为减函数,不满足条件
3.√2<a,[a^x1-a^(-x1)]-[a^x2-a^(-x2)]=[a^x1-a^x2]-[a^(-x1)-a^(-x2)]
=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x1-a^x2>0,1+1/a^2(x1+x2)>0
所以a^x-a^(-x)为增函数,a/(a^2-2)>0,函数为增函数
综上
0<a<1或√2<a