Question

一个50分的数学题目（好像是数学吧）

Answer 1

无理数多。
这是个穷集合的对等的问题，和有限集比较元素个数不同。
首先说明什么是“多”。有理数和无理数不对等，即不能建立一一对应关系。而如果两个集合可以建立一一对应关系，则说它们是对等的（即“一样多”）。
无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的，如整数和偶数是可以一一对应的（n对应2n），因而它们是对等的。
因为有理数可以写成整数分数的形式，因此有理数和整数对儿对等；又因为整数对儿(0,
0)、(0,
1)、(1,
0)、(1,
1)……可以排成有序的一列（正负可以交错排列），因此整数对儿和自然数也对等。
同样的，由于无理数有1.1415926…，2.1415926…，3.1415926…，因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系，它们是对等的。因此无理数不会比自然数少，也就不会比有理数少。
我们现在只要说明无理数与自然数不能对等。
我们用反证法。反设无理数可以排成一列（从而可以编号1、2、3…）：
x.xxxx…
x.xxxx
……
我们可以找出一个新的无理数，它的第一位与上面数列中的第一个数不同，第二位与数列中的第二个数不同，…从而这个新无理数就不在数列中，这是一个矛盾。此矛盾说明无理数不能排成一列，即无理数比自然数多，从而比有理数多

Answer 2

有理数和无理数的性质主要有：
1.
两个有理数的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数；
2.
任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数；
3.
若a，b是有理数，是无理数，且，则a=0，b=0；
4.
若a，b，c，d都是有理数，是无理数，且，则有a=b，c=d。
举例如下：
例1.
设x、y是有理数，，求x、y的值。
解
原式可化为：
，
由性质4，知
解之，得x=2，y=1；或x=－2，y=－1。
例2.
已知a是自然数，方程，有正根m，求a的值。
解
将m代入方程并整理，得
。
因为a、m是有理数，是无理数，由性质3得
解之，得a=m=4（负值已舍去）。
例3.
已知a、b是正有理数，而是无理数，试证不能成立。
证明
假设成立，则
，
由于已知a、b均为正有理数，得是有理数。
又因为也是有理数，所以为有理数，即是有理数，这与已知矛盾。故不能成立。

Answer 3

两个有理数的和、差、是无理数；
如2-根号2
任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数；如2*根号2