Question

数学奥数题：已知x的三次方-6x的平方+ax+b能被(x-1)(x-3)整除,则20a+32b=

Answer 1

假设x^3-6x^2+ax+b=(x-1)(x-3)(x+m)
那么(x-1)(x-3)(x+m)=(x^2-4x+3)(x+m)=x^3+mx^2-4x^2-4mx+3x+3m=x^3+(m-4)x^2+(3-4m)x+3m
于是对应系数应该相等得出式子：m-4=-6

3-4m=a

3m=b
得到m=-2
a=11
b=-6所以20a+32b=220-192=28

Answer 2

把(x-1)(x-3)展开=x²-4x+4

再用多项式除法计算：x³-6x²+ax+b=(x²-4x+4)*(x-2)

所以a=12
b=-8

20a+32b=20×12-32×8=-16

Answer 3

设商是A
x^3-6x^2+ax+b=A(x-1)(x-3)
则x=1,x-1=0
此时右边A(x-1)(x-3)=0
所以左边也等于0
x=1
x^3-6x^2+ax+b=1-6+a+b=0
a+b=5
(1)
同理
x=3时左边也等于0
27-54+3a+b=0
3a+b=27
(2)
相减
2a=22
a=11,b=27-3a=-6
所以20a+32b=28