Question

微分方程的通解求法

Answer 1

解微分方程y'-3xy=2x
解：这是一个典型的一阶线性微分方程。其基本解法(程式化解法)如下：
先求一阶线性齐次方程y'-3xy=0的通解：
dy/dx=3xy；分离变量得dy/y=3xdx；积分之，得lny=(3/2)x²+lnc₁；即得y=c₁e^[(3/2)x²；
将c₁换成x的函数u，即y=ue^[(3/2)x²].............(1)
将(1)的两边对x取导数得：dy/dx=y'=(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²]........(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²]-3xue^[(3/2)x²]=2x
故得(du/dx)e^[(3/2)x²]=2x；分离变量得du=2xe^[-(3/2)x²]dx；
积分之得u=∫2xe^[-(3/2)x²]dx=(-2/3)∫de^[-(3/2)x²]=-(2/3)e^[-(3/2)x²]+c
代入(1)式即得通解y={-(2/3)e^[-(3/2)x²]+c}e^[(3/2)x²]=-2/3+ce^[(3/2)x²]
【此解法谓之“参数变异法”或“常数变异法”】

Answer 2

关于一阶微分方程：
齐次方程使用分离变量法，把x,y挪到各自一边，各自求积分
变量代换法（令u=y/x)
非齐次方程，使用公式法，y=e^(-∫p(x)dx)(c+e^(-∫p(x)q(x)dx)
还有一些特殊的，比如伯努利方程
二阶齐次方程，代换法
令y'=p,则y''=pdp/dy
层层积分法，
二阶非齐次，使用公式法
形如y''+qy'+py=Q(x)
先求齐次方程通解，
先求特征根:r^2+qr+p=0
则齐次方程通解为：
c1e^(r1x)+c2e^(r2x)
有两不等实根
(c1+c2x)1e^(r1x)
有两等实根
e^(r1x)（c1cosr2x+c2sinr2x)
有虚根r1+ir2
再求特解
如果特征根与Q(x)指数有一个相等，则可设特解为xQ(x)
如果特征根与Q(x)指数有2个相等，则可设特解为x^2Q(x)
如果特征根与Q(x)指数有没个相等，则可设特解为Q(x)
通解=特解+齐次方程解

Answer 3

二阶常系数齐次线性微分方程解法：
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。
1
若实根r1不等于r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2
若实根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3
若有一对共轭复根（略）

Answer 4