Question

如图,直线AB交x轴正半轴于点A(4,0),交y轴正半轴于点B(0,4)

Answer 1

1.证明:作AH⊥OA,交OE的延长线于H,则∠HAE=∠DAE=45°.
∵OA=OB=4;∠AOH=∠OBD(均为角BOF的余角);∠OAH=∠BOD=90°.
∴⊿OAH≌⊿BOD(ASA),AH=OD=AD;∠H=∠BDO.
∵AH=AD;∠HAE=∠DAE;AE=AE.
∴⊿HAE≌⊿DAE(SAS),∠H=∠EDA=∠BDO.
2.OQ的长度不变化.
证明:作MN⊥X轴于N.
∵∠MPN=∠PBO(均为角OPB的余角);

又PM=PB;∠PNM=∠BOP=90°.(已知)
∴⊿PNM≌⊿BOP(AAS),MN=PO;PN=BO=AO.
则PN+AP=AO+AP,即AN=PO=MN,∠MAN=45°.
∴∠OAQ=∠MAN=45°(对顶角相等).
故⊿OAQ为等腰直角三角形,OQ=OA=4.

Answer 2

（2）作∠aob的角平分线，交bd于点g，
∴∠bog=∠oae=45°，
∵ob=oa，
∴∠oab=∠oba=45°，
∴∠god=∠ead=45°，
∵∠obg+∠odb=90°，∠aoe+∠odb=90°，
∴∠obg=∠aoe，
又∠boa=∠ofd=90°，
∴∠obd+∠odb=90°，∠fod+∠odb=90°，
∴∠obd=∠fod，
在△bog和△oae中，
{∠obg=∠aoe∠obd=∠fodob=oa，
∴△bog≌△oae（asa），
∴og=ae，
又d为oa的中点，得到od=ad，
在△gdo和△eda中，
{og=ae∠god=∠eadod=ad，
∴△gdo≌△eda（sas）
∴∠bdo=∠eda．