Question

几道高数题，高手给帮帮忙吧

1.求lim（n→∞）sin^2(∏√(n^2+n))
2.设f(x)在[a，+∞）上连续，且lim(x→+∞) f(x)存在，证明f(x)在[a,+∞)上有界。
3.设f(x)在[0，n](n为自然数，n≥2)上连续，f(0)=f(n)，证明存在ξ，ξ+1∈[0,n],使f(ξ)=f(ξ+1).

Answer 1

im（n→∞）sin^2(π√(n^2+n))
=1im（n→∞）[1-cos(2π√(n^2+n)) ]/2
=1im（n→∞）cos[2π（√(n^2+n)-n+n)]
=1im（n→∞）cos[2π（√(n^2+n)-n)]cos2nπ
=1im（n→∞）cos[2π（√(n^2+n)-n)]
=1im（n→∞）cos[2πn/（√(n^2+n)+n)]
=-1}
=1

2.证明，假设f(x)在[a,+∞)上无界。
则必有：
存在x>N，使得|f(x)|>=M，（任取M非常大）
而由题意得，lim(x→+∞) f(x)存在
即有x→+∞：f(x)=A+δ（假设极限为A,δ唯无穷小)
而由假设显然M>A.
所以假设不成立。
f(x)在[a,+∞)上有界。

3.令F(x)=f(x)-f(x+1)
则F(0)=f(0)-f(1)
F(1)=f(1)-f(2)
...
F(n-1)=f(n-1)-f(n)
则F(0)+...F(n-1)=f(0)-f(n)=0
可知F(0)+...F(n-1)=0
那么只有两种情况，
1，F(0)，...F(n-1)均为0，则显然f(x)-f(x+1)恒为0.
所以存在ξ，ξ+1∈[0,n],使f(ξ)=f(ξ+1).
2，F(0)，...F(n-1)有正有负，只有这样代数和才为零，
则显然存在有F(m1）>0,F(m1）<0
根据介值定理，必定存在ξ，使得F(ξ）=0
即存在ξ，ξ+1∈[0,n],使f(ξ)=f(ξ+1).

Answer 2

1
lim（n→∞）sin^2(π√(n^2+n))
=1im（n→∞）[1-cos(2π√(n^2+n)) ]/2
{1im（n→∞）cos(2π√(n^2+n))
=1im（n→∞）cos[2π（√(n^2+n)-n+n)]
=1im（n→∞）cos[2π（√(n^2+n)-n)]cos2nπ
=1im（n→∞）cos[2π（√(n^2+n)-n)]
=1im（n→∞）cos[2πn/（√(n^2+n)+n)]
=-1}
=1

2
当x>X时，│f(x)-A│<ε
取ε=A/2
A/2<f(x)<3A/2

对x∈[a,X]
闭区间f(x)有界

故对x∈[a,+∞)，f(x)有界

即证f(x)在[a,+∞)上有界。

3
F(x)=f(x)-f(x+1)

F(1)+F(2)+F(3)+……+F(n-1)=f(0)-f(n)=0
必有F(x)异号

存在ξ∈[0,n-1]
使得F(ξ)=0

即证
存在ξ，ξ+1∈[0,n],使f(ξ)=f(ξ+1).

Answer 3

1、
lim(n→∞）sin^2(π√(n^2+n))
＝1im(n→∞）sin^2[π√(n^2+n)－nπ]
＝1im(n→∞）sin^2[nπ/(√(n^2+n)＋n)] 分子分母同除以n
＝1im(n→∞）sin^2[π/(√(1+1/n)＋1)] 由连续性
＝sin^2(π/2)
＝1

2、设lim(x→+∞) f(x)＝A，则对于ε＝1，存在正数X，当x＞X时，|f(x)－A|＜1，所以|f(x)|＝|f(x)-A+A|＜1+|A|
又f(x)在[a,X]上连续，从而有界，所以存在正数M1，当x∈[a,X]时，|f(x)|≤M1
取M＝max｛1+|A|，M1｝，则x∈[a,＋∞)时，|f(x)|≤M，所以有界

3、设F(x)＝f(x)－f(x+1)
则F(0)＋F(1)＋…＋F(n-1)＝f(0)－f(n)＝0

所以有两种情况：
（1）F(0)，…，F(n-1)都等于0，很明显ξ取值0，1，…，n-1均可，结论成立.
（2）F(0)，…，F(n-1)中有正有负，不妨设F(m1)＞，F(m2)＜0 ，m1＜m2. 则由零点定理，存在ξ∈(m1，m2)，使得F(ξ)＝0，即f(ξ)＝f(ξ+1).
ξ∈(m1，m2)，则ξ，ξ+1∈[0,n]，结论成立.

综上，一定存在ξ，ξ+1∈[0,n]，使f(ξ)＝f(ξ+1).

Answer 4

高等数学中的基本问题啊