Question

已知f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)

Answer 1

设二次函数f(x)=ax²+bx+c

则f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c=a(x²+2x+1)+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+(a+b+c)

所以f(x+1)-f(x)=2ax+(a+b)=x+1

比较系数得

2a=1，a+b=1

解得，a=1/2，b=1/2

又f(0)=0+0+c=0，所以c=0

f(x)=(1/2)x²+(1/2)x

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

Answer 2

请问，原题是否缺少条件“f(0)=0”？如果补上条件“f(0)=0”，原题将可被完整地解出。
解：
因为f(x+1)-f(x)=x+1
所以，
f(x)-f(x-1)=x
f(x-1)-f(x-2)=x-1
……
f(3)-f(2)=3
f(2)-f(1)=2
所以，
[f(x+1)-f(x)]+[f(x)-f(x-1)]+[f(x-1)-f(x-2)]+…+[f(3)-f(2)]+[f(2)-f(1)]
=(x+1)+x+(x-1)+…+3+2
所以，f(x+1)-f(1)=(x+1)+x+(x-1)+…+3+2
所以，f(x+1)=(x+1)+x+(x-1)+…+3+2+f(1)
因为f(x+1)-f(x)=x+1
且f(0)=0
所以，f(1)-f(0)=0+1
所以，f(1)=1
所以，f(x+1)=(x+1)+x+(x-1)+…+3+2+1
因为(x+1)+x+(x-1)+…+3+2+1=0.5(x+1)[(x+1)+1]
所以，f(x+1)=0.5(x+1)[(x+1)+1]
所以，f(x)=0.5x(x+1)
所以，f(x)=0.5x^2+0.5x

Answer 3

设二次函数f(x)=ax²+bx+c
则f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c=a(x²+2x+1)+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+(a+b+c)
所以f(x+1)-f(x)=2ax+(a+b)=x+1
比较系数得
2a=1，a+b=1
解得，a=1/2，b=1/2
又f(0)=0+0+c=0，所以c=0
f(x)=(1/2)x²+(1/2)x

Answer 4

你想搞清楚。。。。f(x+1)和f(x)的区别。。这里
前者的（x+1）看作一个整体的一个未知数。。。后者(x)看作一个整体的未知数。
f(x)=x^2-2X+1相当于f(x+1)=(x+1)^2-2(x+1)+1.这样明白没有啊？
检举
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