Question

函数f(x)在(a,+∞）上可导，且x趋近正无穷时，f(x)趋近于0，则必有x趋近正无穷时，f'(x)趋近于0，证明是错

Answer 1

必要性：因为limf(x)=a【x趋于无穷】，所以任给正数ε，存在正数m，当│x│>m时，有│f（x）-a│<ε.
即当x>m时，有│f（x）-a│<ε，当x<-m时，也有│f（x）-a│<ε。所以limf(x)=limf(x)=a【x分别趋于正无穷与负无穷】
充分性：因为limf(x)=limf(x)=a【x分别趋于正无穷与负无穷】，所以对任意正数ε，存在正数m1，当x>m1时，有│f（x）-a│<ε；同样存在正数m2，当x<-m2，时，也有│f（x）-a│<ε。取m=max{m1，m2}，则当│x│>m时，有│f（x）-a│<ε。故limf(x)=a【x趋于无穷大】

Answer 2

如需要构造一个f'(x)不在的函数
令a=0,f(x)定义如下
f(x)=sin(2nπx)
/
n
x∈(n-1,n]
其中n=1,2,3....
当这个函数是趋于0的，这是因为，
在第个区间(n-1,n]的最大最小值分别为
-1/n,1/n.
而这个函数是可导的
f'(x)=
2πcos(2nπx)
x∈(n-1,n]
(在x=n处，可以用左右导数来验证可导)
f'(x)在无穷处极限不会为0
因为f'(n)
=
2π
是一个常数列
所以存在一个子列不为趋于0.
所以f'(x)极限不为0.