设x,y,z为正数，且x^2+y^2+z^2=1,求证xy÷z+yz÷x+zx÷y≥根号3
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两边平方，即证(xy/z+yz/x+zx/y)^2>=3(x^2+y^2+z^2)
左边打开得到(xy/z)^2+(yz/x)^2+(zx/y)^2+2(x^2+y^2+z^2）>=3(x^2+y^2+z^2)
也就是证
T=(xy/z)^2+
(yz/x)^2+
(zx/y)^2
>=x^2+y^2+z^2
两边同时加上x^2+y^2+z^2，利用均值不等式得到T+1>=2(xy+yz+zx)
又因为2（xy+yz+zx)<=2x^2+y^2+z^2=2
所以T+1>=2
T>=1
所以原式得证
左边打开得到(xy/z)^2+(yz/x)^2+(zx/y)^2+2(x^2+y^2+z^2）>=3(x^2+y^2+z^2)
也就是证
T=(xy/z)^2+
(yz/x)^2+
(zx/y)^2
>=x^2+y^2+z^2
两边同时加上x^2+y^2+z^2，利用均值不等式得到T+1>=2(xy+yz+zx)
又因为2（xy+yz+zx)<=2x^2+y^2+z^2=2
所以T+1>=2
T>=1
所以原式得证
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