Question

对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b对定...

对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”． （1）判断函数f1（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由； （2）若函数f2（x）=tanx是“（a，b）型函数”，求满足条件的实数对（a，b）所组成的集合； （3）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（x-1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f1（x）=x不是“（a，b）型函数”，
∵f1（x）=x，
∴f1（a+x）=a+x，f1（a-x）=a-x，
∴f1（a+x）•f1（a-x）=（a+x）（a-x）=b，
即a2-x2=b，
∴不存在实数对（a，b）使得a2-x2=b对定义域中的每一个x都成立，
∴f1（x）=x不是“（a，b）型函数”；
（2）∵函数f2（x）=tanx是“（a，b）型函数”，
∴tan（a+x）tan（a-x）=b．
即tan⁡a+tan⁡x1-tan⁡atan⁡x⋅tan⁡a-tan⁡x1+tan⁡atan⁡x=tan⁡2a-tan⁡2x1-tan⁡2atan⁡2x，
∴当tan2a=1，即tana=±1时，tan⁡a+tan⁡x1-tan⁡atan⁡x⋅tan⁡a-tan⁡x1+tan⁡atan⁡x=tan⁡2a-tan⁡2x1-tan⁡2atan⁡2x=1=b，
此时a=±π4+kπ，b=1，
∴满足条件的实数对（a，b）所组成的集合（±π4+kπ，1），k∈Z．
（3）∵函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），
∴g（1+x）g（1-x）=4，
∴当x∈[1，2]时，g(x)=4g(2-x)，其中2-x∈[0，1]，
又∵x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1-x）+1=x2-mx+m+1，其对称轴方程为x=m2，
①当m2＞1，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，
∴g（x）在[0，2]上的值域为[2，m+1]∪[4m+1，2]=[4m+1，m+1]，
由题意，得{m+1≤44m+1≥1，∴2＜m≤3；
②当12≤m2≤1，即1≤m≤2时，g（x）的值域为[g（m2），g（0）]，
即[m+1-m24，m+1]∪[4m+1，4m+1-m24]，
由题意，得{4m+1-m24≤4m+1≤4且{m+1-m24≥14m+1≥1，解得1≤m≤2；
③当0＜m2≤12，即0＜m≤1时，g（x）的值域为[g（m2），g（1）]，
即[m+1-m24，2]，
∴g（x）在[0，2]上的值域为[m+1-m24，2]∪[2，4m+1-m24]=[m+1-m24，4m+1-m24]，
由题意，得{m+1-m24≥14m+1-m24≤4，解得0＜m≤1．
综合①②③，所求m的取值范围是0＜m≤3．