Question

高等数学微积分学，求过程，谢谢

Answer 1

先用一下格林公式，区域需要为在P和Q均有一阶连续偏导数的区域，也就是L围城的区域减去一个包围原点(0, 0)的区域，计算出Q对x偏导-P对y的偏导为0，也就是说，该积分中的闭合曲线可以换成其他任意包围原点一次的曲线，积分结果不变。
这时我们可以取一个特殊的L，即圆心为原点，半径为一个小于1的常量的有向圆。我们可以将半径记为epsilon，方向为逆时针。这时可以将x和y都用极坐标表示：x=epsilon*cos(theta), y=epsilon*sin(theta)，此时dx=-epsilon*sin(theta)*dtheta, dy=epsilon*cos(theta)*dtheta，带入路径积分表达式，积分区间变为theta从0到2pi积分（表示逆时针方向），算出积分结果为-2pi
本来想着用latex写出来好看点，不过太麻烦了，就这样将就着看吧。这种问题在知乎问会更好一点，因为知乎回答可以直接用latex数学环境。