Question

求下列极限 lim（n→∞）∑(上n 下i=1) sin π/(√(n^2+i))

Answer 1

当n→∞时，π/(√(n^2+i))→0。又x→0时，sinx→x。所以：上式的极限可写为：
I=lim（n→∞）∑(上n
下i=1)
sin[π/(√(n^2+i))]
=lim（n→∞）∑(上n
下i=1)
[π/(√(n^2+i))]
=lim（n→∞）∑(上n
下i=1)
[π/(√(1+i/n^2))](1/n)
令x=i/n,dx=1/n,上面求和式的极限可转化为下列积分：
I=(上限1
下限0),
π∫[1/√(1+x/n)]dx,
lim（n→∞）
=(上限1
下限0),
[2nπ√(1+x/n)],lim（n→∞）
=lim（n→∞),
2nπ[√(1+1/n)-1]
=lim（n→∞),
2π[√(1+1/n)-1]/(1/n)
=lim（n→∞),
2π[(1+1/n)-1]/[(1/n)(√(1+1/n)+1)]
=lim（n→∞),
2π(1/n)/(2/n)
=π

Answer 2

lim∑i/（n^2+i^2）=lim(1/n)∑(i/n)/(1+(i/n)^2）
考虑函数x/(1+x^2)，在区间[0,1]连续，分区间n等分，取右端点，由极限定义：
lim∑i/（n^2+i^2）
=lim(1/n)∑(i/n)/(1+(i/n)^2）
=∫[x&敞福搬凰植好邦瞳鲍困#47;(1+x^2)]dx
=(1/2)ln(1+x^2)|(0,1)
=(1/2)ln2